Beim Ziehen ohne Zurücklegen die veränderten Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Warum das wichtig ist

Ob eine gezogene Kugel zurück in die Urne kommt oder nicht, ändert die ganze Rechnung. Genau hier passieren die meisten Fehler: Der Nenner bleibt 6, obwohl nur noch 5 Kugeln drin sind. Wer den Unterschied einmal gesehen hat, vergisst ihn nicht mehr.

Die Regel

Mit Zurücklegen: Jeder Zug ist wie der erste. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf allen Stufen gleich.

Ohne Zurücklegen: Nach jedem Zug ist eine Kugel weniger in der Urne.

• Der Nenner wird bei jedem Zug um 1 kleiner (6 → 5 → 4).
• Der Zähler einer Farbe wird nur dann um 1 kleiner, wenn vorher eine Kugel dieser Farbe gezogen wurde.

Die Zweige der zweiten Stufe hängen also davon ab, was in der ersten Stufe passiert ist.

Beispiel

Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel (6 Kugeln). Die erste gezogene Kugel ist rot.

Ohne Zurücklegen fehlt eine rote Kugel: Bei rot werden Zähler und Nenner kleiner, bei blau und gelb nur der Nenner.

Damit wird zum Beispiel P(rot, dann rot) mit Zurücklegen 3/6 · 3/6 = 9/36 = 1/4, aber ohne Zurücklegen 3/6 · 2/5 = 6/30 = 1/5.

Bild dazu

Oben die Urne vor und nach dem ersten Zug (rot gezogen), darunter beide Bäume. Der Pfad rot-blau ist orange: mit Zurücklegen 3/6 · 2/6, ohne Zurücklegen 3/6 · 2/5.

Video dazu

Wie man einen Baum aufbaut, zeigt das Video auf der Seite Baumdiagramm.