Die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p berechnen (auch für „mindestens einmal“)

Warum das wichtig ist

Manche Ereignisse haben sehr viele günstige Ergebnisse – „mindestens einmal eine 6 bei drei Würfen“ zum Beispiel. Die alle zu zählen dauert ewig. Das Gegenteil ist im Baum oft nur ein einziger Pfad. Wer den Umweg über das Gegenereignis kennt, spart Zeit und Fehler.

Die Regel

Das Gegenereignis „nicht E“ enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. E und „nicht E“ zusammen decken alles ab. Ihre Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1:

Der wichtigste Trick: „mindestens einmal“ rechnet man über das Gegenereignis „kein einziges Mal“.

Beispiel

Aufgabe: Du würfelst einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln?

1. P(6) = 1/6.
2. P(keine 6) = 1 − 1/6 = 5/6.

Der Trick mit „mindestens einmal“: Du würfelst dreimal. Wie groß ist P(mindestens eine 6)?

1. Gegenereignis: kein einziges Mal eine 6. Das ist ein einziger Pfad: keine 6, keine 6, keine 6.
2. Nach der 1. Pfadregel multiplizierst du entlang des Pfades: P(keine 6, keine 6, keine 6) = 5/6 · 5/6 · 5/6 = (5/6)³ = 125/216.
3. P(mindestens eine 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42 %.

Ohne den Trick müsstest du 7 Pfade addieren. Mit dem Trick ist es eine Rechnung.

Bild dazu

Der Baum zum dreimaligen Würfeln. Orange ist der einzige Pfad des Gegenereignisses „kein einziges Mal 6“: 5/6 · 5/6 · 5/6. Unter den Enden stehen die Pfadwahrscheinlichkeiten.