Zweite binomische Formel

Warum das wichtig ist

Die zweite Formel ist die Schwester der ersten – nur mit Minus in der Klammer. Genau dieses Minus macht sie tückisch: Beim Ausmultiplizieren von (x − 5)² passieren die meisten Vorzeichenfehler. Wer die Formel kennt, schreibt das Ergebnis in einer Zeile hin. Und wer weiß, warum am Ende + b² steht, verwechselt die Vorzeichen nicht mehr.

Die Regel

a ist das erste Glied, b das zweite (ohne das Minus). Du quadrierst beide Glieder, das Mittelglied − 2ab ist negativ, das letzte Glied + b² ist positiv.

Warum plus? (a − b)² = (a − b)(a − b). Das letzte Produkt ist (−b) · (−b) = + b²: Minus mal Minus gibt Plus. Im Bild ziehst du von a² zwei Streifen a · b ab; die Ecke b² steckt in beiden Streifen, ist also doppelt weg und kommt einmal zurück.

Merke: (a − b)² ist nicht a² − b². Das Mittelglied − 2ab fehlt sonst, und das b² ist immer plus.

Beispiel

Multipliziere aus: (x − 5)².

Mit Zahlen davor: (2a − 3b)² = 4a² − 12ab + 9b².

Bild dazu

Vom Quadrat x² werden zwei Streifen 5x abgezogen (rot). Die grüne Ecke 25 steckt in beiden Streifen, ist also doppelt abgezogen und kommt einmal zurück. Übrig bleibt das Quadrat (x − 5)².