Binome rückwärts

Erklärung: Warum, Regel, Beispiel, Bild, Video

Warum das wichtig ist

Bisher hast du Klammern aufgelöst. Oft brauchst du den umgekehrten Weg: Aus x² + 6x + 9 wird wieder (x + 3)². Das nennt man faktorisieren. Ein Produkt verrät mehr als eine Summe – zum Beispiel, wann ein Term null wird oder wie sich ein Bruch kürzen lässt. Später beim Lösen quadratischer Gleichungen („quadratische Ergänzung“) ist genau dieser Blick der entscheidende Schritt.

Die Regel

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² − 2ab + b² = (a − b)²

a² − b² = (a + b)(a − b)

So erkennst du die Formel: Such zwei Quadrate (erstes und letztes Glied). Daraus liest du a und b ab. Steht dazwischen ein Mittelglied, prüfst du, ob es 2 · a · b ist – sein Vorzeichen entscheidet zwischen (a + b)² und (a − b)². Gibt es kein Mittelglied und steht ein Minus zwischen den Quadraten, ist es die dritte Formel.

Bei Lückenaufgaben rechnest du genauso: Das Mittelglied ist 2 · a · b, das letzte Glied ist b².

Merke: Das Mittelglied halbieren! Bei x² + 6x + 9 ist b = 3 (denn 2 · 3 = 6), nicht 6.

Beispiel

Schreib als Produkt: x² + 6x + 9.

Quadrate	x² = x², 9 = 3², also a = x, b = 3
Mittelglied	`2 · x · 3 = 6x` ✓, Vorzeichen + → 1. Formel
Ergebnis	x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Genauso: x² − 10x + 25 = (x − 5)² und x² − 16 = (x + 4)(x − 4). Lücken: x² + □x + 25 → 10, denn 2 · x · 5 = 10x; x² + 8x + □ → 16, denn b = 8 : 2 = 4 und 4² = 16.

Bild dazu

Das Flächenbild der ersten Formel, rückwärts gelesen: Die Teilflächen x², 3x, 3x und 9 sind gegeben, gesucht ist die Seite des Quadrats. Sie ist x + 3.

Video dazu

Die Formeln, die du hier rückwärts anwendest, erklären die Videos zur ersten, zweiten und dritten binomischen Formel.