Erste binomische Formel

Warum das wichtig ist

Quadrate von Summen wie (x + 4)² tauchen ständig auf: bei Flächen, bei Gleichungen und später bei Parabeln. Du kannst sie immer als (x + 4)(x + 4) ausmultiplizieren – aber mit der Formel geht es in einer Zeile und ohne Vorzeichen-Chaos. Außerdem schützt dich die Formel vor dem häufigsten Fehler überhaupt: (a + b)² ist nicht a² + b².

Die Regel

a ist das erste Glied in der Klammer, b das zweite. Du quadrierst beide Glieder und schreibst dazwischen das Mittelglied 2ab: zweimal das Produkt der beiden Glieder.

Warum zweimal? (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Die Produkte ab und ba sind gleich, zusammen 2ab. Im Bild unten sind das die zwei gleichen Streifen.

Merke: Das ganze Glied quadrieren! Bei (3a + 2b)² ist a = 3a, also a² = (3a)² = 9a² – nicht 3a².

Beispiel

Multipliziere aus: (2a + 3)².

Noch zwei: (x + 4)² = x² + 8x + 16 und (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².

Bild dazu

Ein Quadrat mit der Seite x + 4 zerfällt in das Quadrat x², das Quadrat 16 und zwei gleiche Streifen 4x. Die zwei Streifen sind das Mittelglied 2 · 4x = 8x.