Dritte binomische Formel

Warum das wichtig ist

Die dritte Formel ist die kürzeste: Aus (x + 4)(x − 4) wird sofort x² − 16, ganz ohne Mittelglied. Du brauchst sie ständig, um Terme zu vereinfachen und später, um Differenzen wie x² − 16 wieder in Klammern zu zerlegen. Und sie ist ein starker Kopfrechentrick: 21 · 19 = 20² − 1² = 399.

Die Regel

Zwei Klammern mit denselben Gliedern, einmal mit Plus, einmal mit Minus. Beim Ausmultiplizieren entstehen + ab und − ab. Sie heben sich auf, deshalb gibt es kein Mittelglied. Übrig bleiben a² und − b².

Die Reihenfolge der Klammern ist egal: (a − b)(a + b) ergibt genauso a² − b².

Merke: Kein Mittelglied – und das Minus bleibt: a² − b², nicht a² + b².

Beispiel

Multipliziere aus: (x + 4)(x − 4).

Mit Zahlen davor: (3a + 2b)(3a − 2b) = 9a² − 4b².

Bild dazu

Oben: das Quadrat x², aus dem die Ecke 4² = 16 fehlt. Der Rest besteht aus zwei Teilen. Unten: Das gelbe Teil ist gedreht und rechts angelegt – jetzt ist es ein Rechteck mit den Seiten x + 4 und x − 4. Gleiche Teile, gleiche Fläche: (x + 4)(x − 4) = x² − 16.