2. Pfadregel

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Warum?

Viele Fragen passen nicht zu einem einzigen Pfad: „genau einmal rot“ kann rot-blau oder blau-rot sein. Die zweite Pfadregel sagt, wie du solche Pfade zusammenrechnest. Und darauf kommt es an: das Ereignis in Worten richtig in Pfade zu übersetzen.

Regel

2. Pfadregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, dann addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten (Summenregel).

P (E) = P (Pfad 1) + P (Pfad 2) + …

Merkhilfe: entlang des Pfades mal, über mehrere Pfade plus.

Mehr dazu: Wahrscheinlichkeiten als Produkt, Summe oder Potenz angeben und Ereignisse in Pfade übersetzen.

Beispiel

Genau einmal rot

Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Wie groß ist $P (genau einmal rot)$ ?

Pfade finden: rot-blau, rot-gelb, blau-rot, gelb-rot. (rot-rot ist zweimal rot, gehört nicht dazu.)
Jeden Pfad multiplizieren: $\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}$ , $\frac{3}{6} \cdot \frac{1}{5}$ , $\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{5}$ , $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5}$ .
Addieren: $\frac{6}{30} + \frac{3}{30} + \frac{6}{30} + \frac{3}{30}$ $= \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ .

Kürzer: „genau einmal rot“ = rot-nicht rot + nicht rot-rot: $\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5}$ $= 2 \cdot \frac{9}{30} = \frac{3}{5}$ .

Bild

Baumdiagramm zur Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel, zweimal ohne Zurücklegen; orange sind die vier Pfade von „genau einmal rot“ — Der Baum aus dem Beispiel: 3 rote (R), 2 blaue (B) und 1 gelbe (G) Kugel, zweimal ohne Zurücklegen. Erste Stufe: rot 3/6, blau 2/6, gelb 1/6. Nach rot: rot 2/5, blau 2/5, gelb 1/5; nach blau: rot 3/5, blau 1/5, gelb 1/5; nach gelb: rot 3/5, blau 2/5 (gelb ist leer). Orange sind die vier Pfade von „genau einmal rot“: rot-blau 1/5, rot-gelb 1/10, blau-rot 1/5, gelb-rot 1/10. Zusammen 3/5.
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Summenregel | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Mathematik Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Noch eine Erklärung: Pfadregeln bei serlo.org

Übung

Aufgabe Nr. 1

Du wirfst eine Münze zweimal. Ereignis E: „mindestens einmal Zahl“. Klick im Baum die Pfade an, die zu E gehören, und berechne dann P(E).

Das Bild zeigt den Baum; du kannst die Enden der Pfade anklicken.

P(E) = …

Lösung

Passende Pfade (3): Kopf-Zahl, Zahl-Kopf, Zahl-Zahl

Jeder Pfad als Produkt: 1/2 · 1/2 = 1/4; 1/2 · 1/2 = 1/4; 1/2 · 1/2 = 1/4

Pfadregel: P(E) = 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 3/4

Aufgabe Nr. 1

Du wirfst eine Münze zweimal. Ereignis E: „genau einmal Kopf“. Welcher Term berechnet P(E)?

Das Bild zeigt den Baum der Aufgabe mit allen Zweigen.

A) 1/2 · 1/2
B) 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2
C) 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2

Lösung

Richtig ist C).

Passende Pfade: Kopf-Zahl, Zahl-Kopf

P(E) = 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 1/2

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
In einer Urne liegen 1 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Rot zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Welche zwei Pfade gehören zu „genau einmal rot“? Rechne jeden mit der 1. Pfadregel und addiere.
Lösung
1. Pfade: rot-blau und blau-rot. Beide haben dieselbe Wahrscheinlichkeit $P (rot) \cdot P (blau)$ .
2. $P (genau einmal rot) = 2 \cdot P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,38$
Richtige Antwort: 0,38
Aufgabe Nr. 2
In einer Urne liegen 6 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Rot zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Welche zwei Pfade gehören zu „genau einmal rot“? Rechne jeden mit der 1. Pfadregel und addiere.
Lösung
1. Pfade: rot-blau und blau-rot. Beide haben dieselbe Wahrscheinlichkeit $P (rot) \cdot P (blau)$ .
2. $P (genau einmal rot) = 2 \cdot P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,48$
Richtige Antwort: 0,48
Aufgabe Nr. 3
In einer Urne liegen 6 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Rot zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Welche zwei Pfade gehören zu „genau einmal rot“? Rechne jeden mit der 1. Pfadregel und addiere.
Lösung
1. Pfade: rot-blau und blau-rot. Beide haben dieselbe Wahrscheinlichkeit $P (rot) \cdot P (blau)$ .
2. $P (genau einmal rot) = 2 \cdot P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,44$
Richtige Antwort: 0,44