Produkt, Summe, Potenz

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Warum?

Wer jede Wahrscheinlichkeit bis zum gekürzten Bruch ausrechnet, verliert Zeit und macht Rechenfehler. Oft reicht der Term: $\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}$ . Frag deine Lehrerin oder deinen Lehrer, ob du in der Klassenarbeit ausrechnen musst. Wichtig ist, dass der Term stimmt – und genau das übst du hier: Du erkennst, welcher Term zu einem Ereignis passt und welcher einen typischen Fehler enthält.

Regel

Ein Term für $P (E)$ hat immer denselben Aufbau:

Jeder passende Pfad wird ein Produkt seiner Zweige (1. Pfadregel).
Die Produkte aller passenden Pfade werden addiert (2. Pfadregel).
Kommt derselbe Faktor mehrmals vor, darfst du eine Potenz schreiben.

\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = {(\frac{5}{6})}^{3}

Typische falsche Terme

Nur ein Pfad statt aller, entlang des Pfades addiert statt multipliziert, die Pfade des Gegenereignisses oder mit statt ohne Zurücklegen gerechnet.

Beispiel

Genau einmal rot, ohne Zurücklegen

Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Ereignis: genau einmal rot.

Ein richtiger und zwei falsche Terme für P(genau einmal rot)
Richtig	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$ $= \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
Nur ein Pfad	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ – blau-rot fehlt
Mit Zurücklegen	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}$ – der Nenner muss kleiner werden

Bild

Baumdiagramm zur Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen; orange sind die zwei Pfade von „genau einmal rot“ — Der Baum aus dem Beispiel: 3 rote (R) und 2 blaue (B) Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen. Erste Stufe: rot 3/5, blau 2/5. Nach rot: rot 2/4, blau 2/4; nach blau: rot 3/4, blau 1/4. Orange sind die zwei Pfade von „genau einmal rot“: rot-blau 3/10 und blau-rot 3/10. Zusammen 3/5.
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Summenregel | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Mathematik Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Übung

Aufgabe Nr. 1

Du wirfst eine Münze zweimal. Ereignis E: „genau einmal Kopf“. Welcher Term berechnet P(E)?

Das Bild zeigt den Baum der Aufgabe mit allen Zweigen.

A) 1/2 · 1/2
B) 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2
C) 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2

Lösung

Richtig ist C).

Passende Pfade: Kopf-Zahl, Zahl-Kopf

P(E) = 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 1/2

Übung

Du würfelst dreimal und rechnest P(keine 6, keine 6, keine 6). Welcher Term ist gleich dem Produkt?

\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}

fünf Sechstel hoch drei drei mal fünf Sechstel fünf hoch drei durch sechs fünfzehn Achtzehntel

Lösung

fünf Sechstel hoch drei richtige Antwort
Derselbe Faktor dreimal multipliziert ist die dritte Potenz. Ausgerechnet sind das 125 Zweihundertsechzehntel.
drei mal fünf Sechstel
Das ist fünf Sechstel plus fünf Sechstel plus fünf Sechstel, also eine Summe. Sie ist größer als 1 und keine Wahrscheinlichkeit.
fünf hoch drei durch sechs
Hier ist nur der Zähler hoch drei genommen. Bei der Potenz eines Bruchs kommt auch der Nenner hoch drei.
fünfzehn Achtzehntel
Das sind nur fünf Sechstel, erweitert mit 3. Beim Multiplizieren werden die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert.

Kommt derselbe Faktor mehrmals vor, darfst du eine Potenz schreiben: fünf Sechstel mal fünf Sechstel mal fünf Sechstel ist fünf Sechstel hoch drei, ausgerechnet 125 Zweihundertsechzehntel.

Mehr dazu:

Pfadregeln (serlo.org)