Erste binomische Formel

Mit einem KI-Tutor lernen

Ein KI-Tutor erklärt dir diese Seite und hilft dir bei den Übungen. Wähl deinen Assistenten:

Mit Claude öffnen Mit ChatGPT öffnen Mit Mistral Vibe öffnen

Du nutzt dein eigenes Konto beim Anbieter. Der Assistent ist kein Angebot von lernapps.net: lernapps liefert nur Inhalte und Übungen. Die Wahl gilt für alle Seiten, nur auf diesem Gerät.

Ansehen, was dein Tutor zu dieser Seite bekommt

Warum?

Quadrate von Summen wie ${(x + 4)}^{2}$ tauchen ständig auf: bei Flächen, bei Gleichungen und später bei Parabeln. Du kannst sie immer als $(x + 4) (x + 4)$ ausmultiplizieren – aber mit der Formel geht es in einer Zeile und ohne Vorzeichen-Chaos. Außerdem schützt dich die Formel vor dem häufigsten Fehler überhaupt: ${(a + b)}^{2}$ ist nicht $a^{2} + b^{2}$ .

Regel

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

$a$ ist das erste Glied in der Klammer, $b$ das zweite. Du quadrierst beide Glieder und schreibst dazwischen das Mittelglied $2 a b$ : zweimal das Produkt der beiden Glieder.

Mittelglied: Das Glied in der Mitte einer binomischen Formel: $2 a b$ bei ${(a + b)}^{2}$ , $- 2 a b$ bei ${(a - b)}^{2}$ . Bei der dritten Formel gibt es kein Mittelglied.

Warum zweimal? ${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b)$ $= a^{2} + a b + b a + b^{2}$ . Die Produkte $a b$ und $b a$ sind gleich, zusammen $2 a b$ . Im Bild unten sind das die zwei gleichen Streifen.

Merke

Das ganze Glied quadrieren! Bei ${(3 a + 2 b)}^{2}$ ist das erste Glied $3 a$ , also wird es zu ${(3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ – nicht $3 a^{2}$ .

Beispiel

Multipliziere aus: (2a + 3)²

Der Rechenweg für (2a + 3)²
Glieder	$a = 2 a$ , $b = 3$
Formel	${(2 a)}^{2} + 2 \cdot 2 a \cdot 3 + 3^{2}$
Ausgerechnet	$4 a^{2} + 12 a + 9$

Noch zwei: ${(x + 4)}^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ und ${(3 a + 2 b)}^{2}$ $= 9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2}$ .

Bild

(x + 4)² = x² + 8x + 16. Zwei gleiche Streifen: 2 · 4x = 8x — Ein Quadrat mit der Seite $x + 4$ , oben und links in die Abschnitte $x$ und $4$ geteilt. Es zerfällt in vier Teilflächen: links oben das Quadrat $x^{2}$ (blau), rechts unten das Quadrat $16$ (grün) und zwei gleiche Streifen $4 x$ (gelb). Die zwei Streifen sind das Mittelglied $2 \cdot 4 x = 8 x$ , also ${(x + 4)}^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

1.binomische Formel – mit grafischer Erklärung Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Zum Nachlesen: Binomische Formeln bei Serlo.

Übung

Lösung

das Mittelglied 10x richtige Antwort
Das Mittelglied ist 2 · x · 5 = 10x. Richtig ist (x + 5)² = x² + 10x + 25.
das Mittelglied 5x
Das Mittelglied kommt zweimal vor: x · 5 und 5 · x, zusammen 10x.
die Zahl 10 am Ende
Das letzte Glied ist 5² = 25, das stimmt schon. Die 10 gehört als 10x in die Mitte.

Nach der ersten binomischen Formel ist (x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25.

Mehr dazu:

Binomische Formeln (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Multipliziere mit der ersten binomischen Formel aus: ${(x + 6)}^{2}$ . Gib das Ergebnis als Term ein.

Lösung

${(x + 6)}^{2} = x^{2} + 12 x + 36$

Glieder: $a = x, b = 6$
Formel: ${(x + 6)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}$
Ausgerechnet: $= x^{2} + 12 x + 36$