Zwei Klammern multiplizieren

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Warum?

Terme wie $(x + 3) (x + 5)$ begegnen dir ab jetzt überall: beim Vereinfachen, beim Lösen von Gleichungen und bei Flächen. Ausmultiplizieren macht aus dem Produkt eine Summe, mit der du weiterrechnen kannst. Die drei binomischen Formeln sind nichts anderes als Abkürzungen für genau diese Rechnung. Wer Klammer mal Klammer sicher kann, kann jede Formel selbst herleiten, falls er sie einmal vergisst.

Regel

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. Bei je zwei Gliedern sind das $2 \cdot 2 =$ 4 Produkte. Danach fasst du gleichartige Glieder zusammen, zum Beispiel $5 x + 3 x = 8 x$ .

Ausmultiplizieren: Ein Produkt mit Klammern in eine Summe ohne Klammern umformen: Jedes Glied der einen Klammer wird mit jedem Glied der anderen multipliziert.

Glied: Ein Teil einer Summe, mit seinem Vorzeichen. Steht in einer Klammer ein Minus, gehört es zum Glied dahinter: $(x - 1)$ hat die Glieder $x$ und $- 1$ .

Achte beim Multiplizieren auf die Vorzeichen: Plus mal Minus gibt Minus, Minus mal Minus gibt Plus.

Merke

Nicht nur außen rechnen! $(x + 3) (x + 5)$ ist nicht $x^{2} + 15$ – die gemischten Glieder $5 x$ und $3 x$ gehören dazu.

Beispiel

Multipliziere aus und fasse zusammen: (2x − 1)(x + 4)

Der Rechenweg für (2x − 1)(x + 4)
Glieder	erste Klammer: $2 x$ und $- 1$ ; zweite Klammer: $x$ und $4$
Vier Produkte	$2 x \cdot x + 2 x \cdot 4$ $- 1 \cdot x - 1 \cdot 4$
Ausgerechnet	$2 x^{2} + 8 x - x - 4$
Zusammengefasst	$2 x^{2} + 7 x - 4$

Ohne Minus geht es genauso: $(x + 3) (x + 5)$ $= x^{2} + 5 x + 3 x + 15$ $= x^{2} + 8 x + 15$ .

Bild

(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15. Feld = Zeile mal Spalte — Ein Rechteck mit den Seiten $x + 3$ (links, in die Abschnitte $x$ und $3$ geteilt) und $x + 5$ (oben, in die Abschnitte $x$ und $5$ geteilt). Es zerfällt in vier Teilflächen: $x^{2}$ (blau), $5 x$ und $3 x$ (gelb) und $15$ (grün). Jedes Feld ist Zeile mal Spalte. Zusammen sind sie $(x + 3) (x + 5)$ $= x^{2} + 8 x + 15$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Ausmultiplizieren – Klammern auflösen Lehrerschmidt · YouTube

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Zum Nachlesen: Klammern ausmultiplizieren bei Serlo.

Übung

Lösung

Es fehlen die Produkte x · 5 und 3 · x. richtige Antwort
Jedes Glied mal jedes Glied sind vier Produkte: x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
Das erste Glied muss 2x heißen.
Das erste Produkt ist x · x = x². 2x wäre x + x.
Das letzte Glied muss 8 heißen.
Das letzte Produkt ist 3 · 5 = 15, das stimmt. Die 8 gehört zum Mittelglied: 5x + 3x = 8x.

Nur außen rechnen reicht nicht: (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.

Mehr dazu:

Klammern ausmultiplizieren (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Multipliziere aus und fasse zusammen: $(x + 4) (x + 6)$ . Gib das Ergebnis als Term ein.

Lösung

$(x + 4) (x + 6) = x^{2} + 10 x + 24$

Vier Produkte: $(x + 4) (x + 6) = x \cdot x + x \cdot 6 + 4 \cdot x + 4 \cdot 6$
Ausgerechnet: $= x^{2} + 6 x + 4 x + 24$
Zusammengefasst: $= x^{2} + 10 x + 24$