1. Pfadregel

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Warum?

Der Baum zeigt dir alle Wege – aber wie wahrscheinlich ist ein bestimmter Weg? Die erste Pfadregel beantwortet genau das. Sie ist die Rechenregel hinter jeder mehrstufigen Aufgabe, und sie ist kurz: multiplizieren.

Regel

1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Zweige auf diesem Pfad (Produktregel).

P (Pfad) = P (1. Zweig) \cdot P (2. Zweig) \cdot …

Merkhilfe: Entlang des Pfades wird mal gerechnet. „Erst rot und dann blau“ heißt multiplizieren.

Beispiel

Erst rot, dann blau

Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist $P (rot, blau)$ ?

1. Zweig: $P (rot) = \frac{3}{6}$ .
1. Zweig: $P (blau) = \frac{2}{6}$ (mit Zurücklegen ist die Urne wieder voll).
$P (rot, blau) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Häufiger Fehler

$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ wäre größer als jede der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten – unmöglich für „erst das eine und dann das andere“. Ein Pfad ist nie wahrscheinlicher als einer seiner Zweige.

Bild

Baumdiagramm zur Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel, zweimal mit Zurücklegen; der Pfad rot-blau ist orange — Der Baum aus dem Beispiel: Urne mit 3 roten (R), 2 blauen (B) und 1 gelben (G) Kugel, zweimal mit Zurücklegen. Auf beiden Stufen stehen dieselben Zweige: rot 3/6, blau 2/6, gelb 1/6. Der Pfad rot-blau ist orange. Unter den neun Enden stehen die Pfadwahrscheinlichkeiten: rot-rot 1/4, rot-blau 1/6, rot-gelb 1/12, blau-rot 1/6, blau-blau 1/9, blau-gelb 1/18, gelb-rot 1/12, gelb-blau 1/18, gelb-gelb 1/36.
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Produktregel | Wahrscheinlichkeitsrechnung - einfach erklärt Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Noch eine Erklärung: Pfadregeln bei serlo.org

Übung

Aufgabe Nr. 1

Du wirfst eine Münze zweimal. Wie groß ist P(Zahl, Kopf)? Also: erst Zahl, dann Kopf. Das Bild zeigt den Baum, der Pfad Zahl-Kopf ist orange.

P(Zahl, Kopf) = …

Lösung

Pfad: Start → Zahl → Kopf

Zweige: P(Zahl) = 1/2, P(Kopf) = 1/2

Pfadregel: P = 1/2 · 1/2 = 1/4

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
In einer Urne liegen 3 rote, 2 blaue und 2 gelbe Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist $P (rot, blau)$ ? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Rechne erst P(rot) und P(blau) für einen Zug aus. Dann multiplizierst du die beiden.
Lösung
1. Alle Kugeln: 3 + 2 + 2. $P (rot)$ und $P (blau)$ sind Anzahl durch alle Kugeln.
2. Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich: $P (rot, blau) = P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,12$ .
Richtige Antwort: 0,12
Aufgabe Nr. 2
In einer Urne liegen 3 rote, 1 blaue und 1 gelbe Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist $P (rot, blau)$ ? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Rechne erst P(rot) und P(blau) für einen Zug aus. Dann multiplizierst du die beiden.
Lösung
1. Alle Kugeln: 3 + 1 + 1. $P (rot)$ und $P (blau)$ sind Anzahl durch alle Kugeln.
2. Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich: $P (rot, blau) = P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,12$ .
Richtige Antwort: 0,12
Aufgabe Nr. 3
In einer Urne liegen 2 rote, 1 blaue und 3 gelbe Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist $P (rot, blau)$ ? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Rechne erst P(rot) und P(blau) für einen Zug aus. Dann multiplizierst du die beiden.
Lösung
1. Alle Kugeln: 2 + 1 + 3. $P (rot)$ und $P (blau)$ sind Anzahl durch alle Kugeln.
2. Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich: $P (rot, blau) = P (rot) \cdot P (blau) \approx 0,06$ .
Richtige Antwort: 0,06