Gegenereignis

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Warum?

Manche Ereignisse haben sehr viele günstige Ergebnisse – „mindestens einmal eine 6 bei drei Würfen“ zum Beispiel. Die alle zu zählen dauert ewig. Das Gegenteil ist im Baum oft nur ein einziger Pfad. Wer den Umweg über das Gegenereignis kennt, spart Zeit und Fehler.

Regel

Gegenereignis: Das Gegenereignis „nicht E“ enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. E und „nicht E“ zusammen decken alles ab.

Die Wahrscheinlichkeiten von E und „nicht E“ ergeben zusammen 1:

P (nicht E) = 1 - P (E)

Der wichtigste Trick: „mindestens einmal“ rechnet man über das Gegenereignis „kein einziges Mal“.

Beispiel

Keine 6 würfeln

Du würfelst einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln?

$P (6) = \frac{1}{6}$ .
$P (keine 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Der Trick mit „mindestens einmal“

Du würfelst dreimal. Wie groß ist $P (mindestens eine 6)$ ?

Gegenereignis: kein einziges Mal eine 6. Das ist ein einziger Pfad: keine 6, keine 6, keine 6.
Nach der 1. Pfadregel multiplizierst du entlang des Pfades: $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}$ $= {(\frac{5}{6})}^{3}$ $= \frac{125}{216}$ .
$P (mindestens eine 6)$ $= 1 - \frac{125}{216}$ $= \frac{91}{216} \approx 42 %$ .

Ohne den Trick müsstest du 7 Pfade addieren. Mit dem Trick ist es eine Rechnung.

Bild

Baumdiagramm zum dreimaligen Würfeln; orange ist der einzige Pfad von „kein einziges Mal 6“ — Der Baum zum dreimaligen Würfeln. Auf jeder Stufe gibt es zwei Zweige: 6 mit 1/6 und „keine 6“ (K) mit 5/6. Orange ist der einzige Pfad des Gegenereignisses „kein einziges Mal 6“: keine 6, keine 6, keine 6, also 5/6 · 5/6 · 5/6 = 125/216. Unter den acht Enden stehen die Pfadwahrscheinlichkeiten: 1/216, 5/216, 5/216, 25/216, 5/216, 25/216, 25/216 und 125/216.
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Zu dieser Seite gibt es kein eigenes Video. Wie man Pfade multipliziert, zeigt das Video auf der Seite 1. Pfadregel.
Noch eine Erklärung: Gegenereignis bei serlo.org

Übung

Aufgabe Nr. 1

Du hast einen normalen Würfel; es zählt nur „6“ oder „keine 6“. Du würfelst 3-mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mindestens einmal „6“ bekommst?

Das Bild zeigt den Baum; orange ist der einzige Pfad des Gegenereignisses „kein einziges Mal 6“.

P(mindestens einmal) = …

Lösung

Gegenereignis: kein einziges Mal 6.

P(kein Mal 6) = (5/6)³ = 125/216

P(mindestens einmal 6) = 1 − 125/216 = 91/216

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, ist 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet?
Tipp
Regen und kein Regen ergeben zusammen 1.
Lösung
1. $P (kein Regen) = 1 - P (Regen) = 1 - 0,6 = 0,4$
Richtige Antwort: 0,4
Aufgabe Nr. 2
Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, ist 0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet?
Tipp
Regen und kein Regen ergeben zusammen 1.
Lösung
1. $P (kein Regen) = 1 - P (Regen) = 1 - 0,75 = 0,25$
Richtige Antwort: 0,25
Aufgabe Nr. 3
Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, ist 0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet?
Tipp
Regen und kein Regen ergeben zusammen 1.
Lösung
1. $P (kein Regen) = 1 - P (Regen) = 1 - 0,35 = 0,65$
Richtige Antwort: 0,65