In Pfade übersetzen

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Warum?

Die Pfadregeln sind leicht – schwer ist die Frage davor: Welche Pfade gehören überhaupt zum Ereignis? „Genau einmal rot“ klingt nach einem Pfad, sind aber zwei. „Beide gleich“ sind so viele Pfade, wie es Farben gibt. Wer diese Übersetzung sicher kann, löst die meisten Aufgaben zu Baumdiagrammen.

Regel

Ereignisse in Worten (2 Züge) und ihre Pfade
Ereignis	Welche Pfade?
genau einmal rot	rot-nicht rot und nicht rot-rot – die Reihenfolge zählt.
beide gleich	ein Pfad pro Farbe: rot-rot, blau-blau, …
mindestens einmal rot	alle Pfade mit rot – oder $1 - P (kein rot)$ .

Dann gilt wie immer – jeden Pfad multiplizieren, die Pfade addieren.

Beispiel

Beide gleich

Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel, zweimal ziehen mit Zurücklegen. Wie groß ist $P (beide gleich)$ ?

Pfade: rot-rot, blau-blau, gelb-gelb.
Produkte: $\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36}$ , $\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}$ , $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .
Summe: $\frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ .

Bild

Baumdiagramm zur Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 gelben Kugel, zweimal mit Zurücklegen; orange sind die drei Pfade von „beide gleich“ — Der Baum aus dem Beispiel: 3 rote (R), 2 blaue (B) und 1 gelbe (G) Kugel, zweimal mit Zurücklegen. Auf beiden Stufen: rot 3/6, blau 2/6, gelb 1/6. Orange sind die drei Pfade von „beide gleich“: rot-rot 1/4, blau-blau 1/9 und gelb-gelb 1/36. Unter den übrigen Enden stehen rot-blau 1/6, rot-gelb 1/12, blau-rot 1/6, blau-gelb 1/18, gelb-rot 1/12, gelb-blau 1/18.
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Summenregel | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Mathematik Lehrerschmidt · YouTube

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Übung

Aufgabe Nr. 1

In einer Urne liegen 1 rote, 2 blaue und 3 gelbe Kugeln. Du ziehst zweimal nacheinander mit Zurücklegen. Ereignis E: „genau einmal rot“. Klick im Baum die Pfade an, die zu E gehören, und berechne dann P(E).

Das Bild zeigt den Baum; du kannst die Enden der Pfade anklicken.

P(E) = …

Lösung

Passende Pfade (4): rot-blau, rot-gelb, blau-rot, gelb-rot

Jeder Pfad als Produkt: 1/6 · 2/6 = 1/18; 1/6 · 3/6 = 1/12; 2/6 · 1/6 = 1/18; 3/6 · 1/6 = 1/12

Pfadregel: P(E) = 1/6 · 2/6 + 1/6 · 3/6 + 2/6 · 1/6 + 3/6 · 1/6 = 5/18

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
In einer Urne liegen 4 rote und 1 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
„Beide gleich“ hat so viele Pfade, wie es Farben gibt.
Lösung
1. Pfade: rot-rot und blau-blau. $P (beide gleich) = P {(rot)}^{2} + P {(blau)}^{2}$ .
2. $P (beide gleich) \approx 0,68$
Richtige Antwort: 0,68
Aufgabe Nr. 2
In einer Urne liegen 6 rote und 1 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
„Beide gleich“ hat so viele Pfade, wie es Farben gibt.
Lösung
1. Pfade: rot-rot und blau-blau. $P (beide gleich) = P {(rot)}^{2} + P {(blau)}^{2}$ .
2. $P (beide gleich) \approx 0,76$
Richtige Antwort: 0,76
Aufgabe Nr. 3
In einer Urne liegen 1 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
„Beide gleich“ hat so viele Pfade, wie es Farben gibt.
Lösung
1. Pfade: rot-rot und blau-blau. $P (beide gleich) = P {(rot)}^{2} + P {(blau)}^{2}$ .
2. $P (beide gleich) \approx 0,68$
Richtige Antwort: 0,68