Laplace-Formel

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Warum?

Fast jede Wahrscheinlichkeitsaufgabe beginnt mit dieser Frage: Wie viele Ergebnisse gibt es überhaupt, und wie viele davon sind „gut“ für mich? Wer das sauber zählt, hat den ersten Schritt jeder Aufgabe geschafft. Alles Weitere – Baumdiagramme, Pfadregeln – baut darauf auf.

Regel

Laplace-Versuch: Ein Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Bei einem Laplace-Versuch gilt für ein Ereignis $E$ :

P (E) = \frac{Anzahl der günstigen Ergebnisse}{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}

günstiges Ergebnis: Ein Ergebnis, das zum Ereignis $E$ gehört. Möglich ist dagegen alles, was passieren kann.

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Du kannst sie als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent schreiben: $\frac{1}{4} = 0,25 = 25 %$ .

Beispiel

Eine gerade Zahl würfeln

Du würfelst einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl?

Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – das sind 6.
Günstige Ergebnisse (gerade Zahl): 2, 4, 6 – das sind 3.
$P (gerade Zahl) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 = 50 %$ .

Eine blaue Kugel ziehen

In einer Urne liegen 3 rote, 2 blaue und 1 gelbe Kugel. Du ziehst blind eine Kugel. $P (blau) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3 %$ .

Achtung

Die Farben sind nicht die Ergebnisse! Jede einzelne Kugel ist ein Ergebnis. Es gibt 6 Kugeln, nicht 3 Farben – sonst würdest du $\frac{1}{3}$ für jede Farbe rechnen, und das ist falsch.

Bild

Die Kugeln in der Urne: die zwei blauen Kugeln sind orange umrandet — Die Urne aus dem zweiten Beispiel: 6 Kugeln nebeneinander, 3 rote, 2 blaue und 1 gelbe. Die zwei blauen Kugeln sind orange umrandet. Also ist $P (blau) = \frac{2}{6}$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

einstufiger Zufallsversuch | Wahrscheinlichkeitsrechnung - einfach erklärt Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Im Video heißt das „einstufiger Zufallsversuch“ – gemeint ist dasselbe.

Noch eine Erklärung: Laplace-Experiment bei serlo.org

Übung

Aufgabe Nr. 1

Ein Skatspiel hat 32 Karten: je 8 Karten in Kreuz, Pik, Herz und Karo (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass). Du ziehst eine Karte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Herz-Karte ziehst?

Das Bild zeigt alle 32 möglichen Ergebnisse; du kannst die günstigen anklicken.

P(E) = …

Lösung

Mögliche Ergebnisse: 32

Günstige Ergebnisse (eine Herz-Karte): 8

P(E) = günstig / möglich = 8/32 = 1/4

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
In einer Urne liegen 4 rote, 5 blaue und 2 gelbe Kugeln. Du ziehst blind eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Zähle alle Kugeln: Das sind die möglichen Ergebnisse. Die blauen sind die günstigen.
Lösung
1. Mögliche Ergebnisse: 4 + 5 + 2 Kugeln. Günstig: 5 blaue Kugeln.
2. P(blau) = günstig durch möglich $\approx 0,45$ .
Richtige Antwort: 0,45
Aufgabe Nr. 2
In einer Urne liegen 6 rote, 4 blaue und 4 gelbe Kugeln. Du ziehst blind eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Zähle alle Kugeln: Das sind die möglichen Ergebnisse. Die blauen sind die günstigen.
Lösung
1. Mögliche Ergebnisse: 6 + 4 + 4 Kugeln. Günstig: 4 blaue Kugeln.
2. P(blau) = günstig durch möglich $\approx 0,29$ .
Richtige Antwort: 0,29
Aufgabe Nr. 3
In einer Urne liegen 6 rote, 3 blaue und 3 gelbe Kugeln. Du ziehst blind eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen? Gib sie als Dezimalzahl an, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Tipp
Zähle alle Kugeln: Das sind die möglichen Ergebnisse. Die blauen sind die günstigen.
Lösung
1. Mögliche Ergebnisse: 6 + 3 + 3 Kugeln. Günstig: 3 blaue Kugeln.
2. P(blau) = günstig durch möglich $\approx 0,25$ .
Richtige Antwort: 0,25