Prozentuale Zunahme und Abnahme

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Warum?

Preise steigen, Rabatte senken, Gehälter wachsen, die Mehrwertsteuer kommt obendrauf: Fast jede Prozentaufgabe im Alltag ist eine Veränderung. Der Trick ist der Faktor – mit ihm rechnest du eine Erhöhung oder Senkung in einem Schritt, und du kannst sie auch rückwärts rechnen.

Regel

Bei einer Erhöhung um $p %$ :

neuer Wert = alter Wert \cdot (1 + \frac{p}{100})

Bei einer Senkung um $p %$ :

neuer Wert = alter Wert \cdot (1 - \frac{p}{100})

Der alte Wert ist der Grundwert (100 %). Nach einer Erhöhung um 25 % sind es 125 %, also Faktor 1,25. Nach einer Senkung um 25 % sind es 75 %, also Faktor 0,75.

vermehrter Grundwert: Der neue Wert nach einer Erhöhung um $p %$ , also $(100 + p) %$ des alten Werts.

verminderter Grundwert: Der neue Wert nach einer Senkung um $p %$ , also $(100 - p) %$ des alten Werts.

Rückwärts (alter Wert gesucht) teilst du durch den Faktor:

alter Wert = neuer Wert : Faktor

Typischer Fehler

Die Prozente auf den neuen Wert beziehen. Die 25 % Rabatt beziehen sich immer auf den alten Preis – der neue Preis ist nicht 100 %.

Beispiel

Neuer Wert gesucht

Eine Hose kostet 80 €. Im Ausverkauf gibt es 25 % Rabatt. Was kostet sie jetzt?

Senkung um 25 % mit dem Faktor
Alter Wert	80 € = 100 %
Faktor	$1 - \frac{25}{100} = 0,75$
Neuer Wert	$80 \cdot 0,75 = 60$ , also 60 €

Alter Wert gesucht

Nach einer Preiserhöhung um 25 % kostet ein Ticket 100 €. Was hat es vorher gekostet?

Rückwärts rechnen durch den Faktor
Neuer Wert	100 € = 125 % des alten Preises
Faktor	$1 + \frac{25}{100} = 1,25$
Alter Wert	$100 : 1,25 = 80$ , also 80 €

Falsch wäre: 100 € − 25 % von 100 € = 75 €. Die 25 % beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf 100 €.

Bild

Der alte Preis 80 € ist der Grundwert: 100 %.

Der neue Preis 60 € nach 25 % Rabatt, gemessen am alten Preis: 75 %. Der Faktor 0,75 führt vom oberen zum unteren Balken.

Video dazu

Senkung:

Rabatt, Nachlass, Preissenkung berechnen | Prozentrechnung - einfach erklärt | Lehrerschmidt Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Erhöhung:

Preiserhöhung, Aufschlag berechnen | Prozentrechnung - einfach erklärt | Lehrerschmidt Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Noch eine Erklärung in anderen Worten: Der verminderte und vermehrte Grundwert bei serlo.org.

Übung

Aufgabe Nr. 1

Ein Fahrrad kostet brutto 714 €. Darin sind 19 % Mehrwertsteuer enthalten. Wie hoch ist der Nettopreis?

Bild zur Aufgabe: Balkenbild „+ 19 %“: Alter Preis (100 %): ?; Neuer Preis (119 %): 714 €.

Alter Wert (in €)

Lösung

Alter Wert: 600 €

Rechenweg:

Alter Wert = neuer Wert : (1 + p/100)
Faktor: 1 + 19/100 = 1,19
714 : 1,19 = 600 €

Ergebnis: 600 €.

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
Ein Preis von 25 € wird um 10 % gesenkt. Wie hoch ist der neue Preis?
Tipp
Nach der Senkung sind es 100 % − 10 % des alten Preises. Rechne mit dem Faktor 1 − 10/100.
Lösung
1. $neuer Wert = alter Wert \cdot (1 - \frac{p}{100})$
2. $neuer Wert = 25 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 22,50$ , also 22,50 €.
Richtige Antwort: 22,5 €
Aufgabe Nr. 2
Ein Preis von 45 € wird um 5 % gesenkt. Wie hoch ist der neue Preis?
Tipp
Nach der Senkung sind es 100 % − 5 % des alten Preises. Rechne mit dem Faktor 1 − 5/100.
Lösung
1. $neuer Wert = alter Wert \cdot (1 - \frac{p}{100})$
2. $neuer Wert = 45 \cdot (1 - \frac{5}{100}) = 42,75$ , also 42,75 €.
Richtige Antwort: 42,75 €
Aufgabe Nr. 3
Ein Preis von 185 € wird um 30 % gesenkt. Wie hoch ist der neue Preis?
Tipp
Nach der Senkung sind es 100 % − 30 % des alten Preises. Rechne mit dem Faktor 1 − 30/100.
Lösung
1. $neuer Wert = alter Wert \cdot (1 - \frac{p}{100})$
2. $neuer Wert = 185 \cdot (1 - \frac{30}{100}) = 129,50$ , also 129,50 €.
Richtige Antwort: 129,5 €

Übung

Drei Beispielaufgaben, jede mit ihrer Lösung:

Aufgabe Nr. 1
Nach einer Erhöhung um 20 % beträgt ein Preis 579 €. Wie hoch war er vorher?
Tipp
579 € sind 100 % + 20 % des alten Preises. Teile durch den Faktor 1 + 20/100.
Lösung
1. $alter Wert = neuer Wert : (1 + \frac{p}{100})$
2. $alter Wert = 579 : (1 + \frac{20}{100}) = 482,50$ , also 482,50 €.
Richtige Antwort: 482,5 €
Aufgabe Nr. 2
Nach einer Erhöhung um 25 % beträgt ein Preis 83 €. Wie hoch war er vorher?
Tipp
83 € sind 100 % + 25 % des alten Preises. Teile durch den Faktor 1 + 25/100.
Lösung
1. $alter Wert = neuer Wert : (1 + \frac{p}{100})$
2. $alter Wert = 83 : (1 + \frac{25}{100}) = 66,40$ , also 66,40 €.
Richtige Antwort: 66,4 €
Aufgabe Nr. 3
Nach einer Erhöhung um 50 % beträgt ein Preis 252 €. Wie hoch war er vorher?
Tipp
252 € sind 100 % + 50 % des alten Preises. Teile durch den Faktor 1 + 50/100.
Lösung
1. $alter Wert = neuer Wert : (1 + \frac{p}{100})$
2. $alter Wert = 252 : (1 + \frac{50}{100}) = 168$ , also 168 €.
Richtige Antwort: 168 €