# Binomische Formeln – Hinweise für einen KI-Tutor

Basis-URL: https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/
Weitere Lern-Apps (jede mit eigener llms.txt) stehen auf der Übersicht, als Text unter https://lernapps.github.io/mathe-karte/llms.txt:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/

## Was die App ist

Ein statischer, interaktiver Mathe-Trainer für die binomischen Formeln (Klasse 8,
Gymnasium Hessen, G9-Lehrplan Einheit 8.1). Für Kinder von etwa 13 Jahren, die das
Thema gerade im Unterricht haben und Deutsch sprechen. Sechs Kompetenzseiten, von "Klammer mal
Klammer" über die drei Formeln bis zu "rückwärts" und "Kopfrechnen". Jede Seite hat:
Warum-Absatz, Regel, ausgerechnetes Beispiel, Lehrerschmidt-Video (Zwei-Klick-Karte;
Seite 5 hat keines), ein Flächenbild (SVG, geht mit der aktuellen Aufgabe mit) und einen
Aufgabengenerator mit Sofort-Feedback, Tipp, "Lösung zeigen/verbergen", "Neue Aufgabe"
und einem Zähler richtig/gesamt für die Sitzung.

Das Flächenbild ist der rote Faden: (a + b)² ist ein Quadrat mit der Seite a + b, das in
a², zwei gleiche Streifen ab und b² zerfällt – daher das 2ab.

## Was die App nicht ist

- Kein Server, kein Login, kein Tracking, keine Cookies. Im localStorage liegen nur die
  Selbsteinschätzung, das letzte Testergebnis und der optionale Merker "Videos immer
  direkt laden".
- Keine externen Requests, bis jemand ein Video startet; dann lädt
  youtube-nocookie.com (Daten gehen an Google). Die Videos sind als Zwei-Klick-Karten
  eingebettet: erst ein lokal gezeichneter Platzhalter, das Video selbst kommt erst nach
  Klick auf "Video laden und abspielen".
- Die App kennt das Kind nicht und meldet nichts zurück. Der Tutor erfährt das
  Ergebnis nur, wenn er danach fragt – oder das Kind schickt ihm die Ergebniszeile
  des Tests (siehe "Test").
- Keine Noten, keine Zeitmessung. Der Test liefert je Kompetenz nur sicher / teils /
  üben.

## Regeln für den Tutor

- Die App ist das Arbeitsblatt, der Chat das Gespräch darüber: Bilder und Aufgaben verlinken statt im Chat rechnen zu lassen, spätestens jede dritte Antwort mit einem Link auf eine konkrete Aufgabe oder ein Bild. Eine Kompetenz gilt als geschafft nach drei richtigen App-Aufgaben und einer Erklärung.
- Bitte das Kind zuerst um sein Testergebnis oder verlinke den Schnelltest
  (test.html?nr=<Nummer>&modus=schnell). Beginne bei der ersten Kompetenz mit ✗,
  dann ~. Nie die Testaufgaben vorab verraten.
- Verlinke immer eine konkrete Aufgabe mit Parametern, nie nur die Startseite.
- Jede Aufgabe hat eine Nummer. Sag dem Kind "Mach Aufgabe Nr. 42" und schick den Link
  mit `seed=42`. Nennt das Kind eine Nummer, öffnest du dieselbe Aufgabe über den Link.
- Rechenweg auf Papier, zwei Phasen je Kompetenz. Das Ergebnis tippt das Kind immer in die
  App; die App prüft nur das Ergebnis. Ein Rechenweg-Feld gibt es bewusst nicht: Das Kind
  soll Mathe üben, keine Eingabe-Syntax.
  - Lernen: Das Kind übt, du erklärst, die App prüft die Ergebnisse. Bitte um kein Foto;
    Fehler klärt ihr im Gespräch.
  - Klassenarbeit: Melden drei Ergebniszeilen derselben Kompetenz hintereinander „richtig im
    1. Versuch“ oder markiert der Test sie mit ✓, bitte um eine Aufgabe davon ganz von Hand:
    Aufgabe und ganzer Rechenweg, als Foto nur vom Blatt, ohne Namen (nach dem Test eine je ✓).
    „Sitzung: x von y“ mit x kleiner y heißt: Im selben Tab war eine Aufgabe falsch. Zähl neu.
  - Foto: Prüf jeden Schritt. Ist einer falsch, nenn den ersten und stell eine Leitfrage dazu,
    statt ihn zu verbessern. Stimmt alles, ist die Kompetenz arbeitsreif; sag das dem Kind.
- Nach jeder verlinkten Aufgabe: frag, was herauskam. Die App meldet dem Tutor nichts.
- Empfiehl das Video, wenn das Kind die Erklärung zweimal nicht wiedergeben kann;
  sonst zuerst Aufgaben. Verlinke dann den Anker `#video` der Seite.
- Kompetenzseiten mit einem passenden serlo.org-Artikel haben unter `#serlo` (nach dem
  Video, in der Erklärung) einen reinen Link "Noch eine Erklärung: … bei serlo.org". Er
  lädt nichts vor dem Klick (kein iframe, kein Vorschaubild). serlo.org gehört dem
  gemeinnützigen Serlo Education e.V., ist kostenlos, werbefrei und ohne Anmeldung. Nenne
  den Link als zweite Erklärung in anderen Worten, wenn Regel, Beispiel und Video nicht
  gereicht haben. Seiten ohne passenden Artikel haben keinen Abschnitt `#serlo`.

## URL-Parameter und Anker (alle Seiten)

- Herkunft `von=tutor` (auf jeder Seite, auch test.html; nur der Wert `tutor`): Häng ihn an
  jeden Link, den du dem Kind gibst, zum Beispiel
  https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/test.html?nr=<Nummer>&modus=schnell&von=tutor. Die Aufgabe ändert er nicht.
  Prüf vor dem Senden: Steht in jedem App-Link `&von=tutor` (vor einem `#`-Anker)? Ohne ihn fehlt der Knopf.
  Mit ihm zeigt die Übung unter "Link kopieren" und der Test neben der Ergebniszeile den Knopf
  "Zurück zu Claude". Er kopiert eine Zeile und schließt den Tab. Übung:
  "Binomische Formeln, Kompetenz 2 „…“, Aufgabe Nr. 4: richtig im 2. Versuch (Sitzung: 3 von 4 richtig)";
  statt "richtig im n. Versuch" auch "noch nicht gelöst", "noch nicht gelöst (2 Versuche)" oder
  "Lösung angesehen". Test: die Ergebniszeile (siehe "Test"). Hat nicht der Tutor den Tab geöffnet
  (Lesezeichen, eingetippt, manche App-Browser), bleibt er offen und die App sagt: "Ergebnis kopiert.
  Schließ diesen Tab und füge es bei Claude ein." Geht die Zwischenablage nicht, bleibt der Tab offen
  und die Zeile steht markiert im Feld. "Link zu dieser Aufgabe" und "Link kopieren" lassen
  `von=tutor` weg: Ein weitergegebener Link kommt nicht vom Tutor. Ohne JavaScript kein Knopf.
- Aufgabennummer (URL-Parameter `seed=` oder `nr=`, ganze Zahl; stehen beide da, gilt
  `seed`): macht den Generator deterministisch. Ohne Aufgabennummer wählt die App eine
  zufällige Nummer von 1 bis 9999.
- Zahlen in URL-Parametern mit Punkt oder Komma: `wert=2.5` und `wert=2,5` gehen beide.
  Ungültige oder fehlende Parameter → die App erzeugt eine Zufallsaufgabe (über die
  Aufgabennummer reproduzierbar).
- Anker auf jeder Kompetenzseite: `#warum` (Warum-Absatz), `#regel` (Regel oder Formel),
  `#beispiel` (Beispiel), `#visualisierung` (Bild zum Beispiel, ändert sich nie),
  `#video` (Video als Zwei-Klick-Karte, falls es eines gibt), `#uebung` (Aufgabengenerator mit eigenem
  Bild zur aktuellen Aufgabe, `#aufgabenbild`, nur mit JavaScript).
- Deep Link: Trägt der Link eine Aufgabennummer (`seed`/`nr`) oder Aufgabenparameter und keinen Anker
  in die Erklärung, klappt die Seite die Erklärung (Warum bis Video) zu und springt zur Übung. Ein Anker
  wie `#visualisierung` oder `#regel` lässt die Erklärung offen. Ohne JavaScript ist alles offen.
- Unter jeder Aufgabe steht "Aufgabe Nr. N", daneben "Link zu dieser Aufgabe" (alle
  Parameter plus Aufgabennummer) und "Link kopieren". Das Kind kann dir die Nummer
  sagen oder den Link schicken.

## Antwortformate, die der Prüfer akzeptiert

Zahlenfelder lesen tolerant: "2,5", "2.5", "2,50", "2,5 m", "1.250,5". Bruchfelder lesen
Brüche, Dezimalzahlen, Prozent und Rechenterme: "1/4", "25/100", "0,25", "25 %",
"1/2*1/2". Ausrechnen ist in Bruchfeldern nicht nötig.

Termfelder (Seiten 1–5) lesen Terme mit Variablen – so tippt das Kind:
- x² als `x^2` oder `x²`, a² als `a^2`; das Malzeichen darf fehlen: `12ab`, `2x`.
- Minus als `-`: `x^2-10x+25`. Leerzeichen sind egal.
- Klammern wie gewohnt: `(x+3)^2`, `(x+4)(x-4)`, `(2a-3b)^2`.
- Nur kleine Buchstaben als Variablen (`X` meldet die App als Tippfehler).
- Die Reihenfolge der Glieder ist egal: `25 - 10x + x^2` ist richtig.
Unter dem Feld steht, wie die App den Term gelesen hat ("Gelesen: x² + 8x + 15").
Seiten 1–4 verlangen die ausmultiplizierte, zusammengefasste Form; Seite 5 (faktorisieren)
ein Produkt. Ein gleichwertiger Term in der falschen Form ist kein Fehler, sondern ein
neutraler Hinweis (siehe unten).

## Zahlen eingeben

Für alle Zahlenfelder gilt eine Regel:
- Rundungsvorgabe: Muss gerundet werden, steht unter dem Feld "Runde auf <n>
  Nachkommastelle(n) oder gib einen Bruch an." (bei Geld ohne "Bruch"). Standard: Geld (€)
  2 Stellen, Prozentsatz (%) 1 Stelle, sonst 2. Ist das Ergebnis glatt (30 €, 25 %), fehlt
  der Hinweis.
- Die Toleranz folgt den getippten Stellen: Richtig ist der exakte Wert oder der exakte Wert
  kaufmännisch gerundet auf so viele Stellen, wie das Kind getippt hat – mindestens die
  geforderten. Für 10/3 mit 2 Stellen: "3,33", "3,333" richtig, "3,34" falsch. Für 2/3:
  "0,67" richtig, "0,66" falsch (abschneiden ist kein Runden). Endnullen zählen: "3,30"
  hat zwei Stellen.
- Zu grob gerundet ("3,3", wo zwei Stellen verlangt sind, aber richtig gerundet) ist kein
  Fehler: Die App zeigt neutral (gelb, nicht rot) "Fast – runde auf zwei
  Nachkommastellen." und zählt den Versuch nicht. Im Test zählt es als falsch.
- Brüche und Rechenterme gehen in jedem Zahlenfeld, auch bei Geld: "10/3", "100/3 %",
  "2*50/3", "(1/2)^2", "1-1/6", "0,5*3", "80*0,75", Wurzeln "sqrt(40)" oder "√(2+3)", "√2",
  und pi als "pi" oder "π" ("2*pi"). Ein getippter Term zählt als exakt; bei Geld muss sein
  Wert auf den Cent stimmen. Gemischte Zahlen ("3 1/3") nimmt die App nicht; sie bittet um
  "10/3".
- Tippt das Kind einen Term oder Bruch, zeigt die App darunter live den Wert: "= 30 €",
  "≈ 3,33". Bei reinen Zahlen erscheint nichts.
- Manche Felder verlangen das ausgerechnete Ergebnis (hier: Lücken auf Seite 5 und das
  Ergebnis auf Seite 6). Dort meldet
  ein Term oder Bruch neutral "Rechne das Ergebnis aus." und zählt nicht; im Test zählt er
  als falsch.
- Fehlercodes dazu: "zu-grob-gerundet", "gemischte-zahl", "ausdruck-statt-zahl" (alles
  Hinweise, keine Fehler).

Für Termfelder mit Variablen (Feldtyp "variablenterm", z. B. binomische Formeln) gilt:
- Variablen sind kleine Einzelbuchstaben a–z. Malzeichen darf fehlen: "3ab", "2(x+1)",
  "(a+b)(a-b)". Potenzen mit "^" oder "²"/"³": "x^2", "x²". "1/2x" heißt ½·x. "-x^2" heißt
  −(x²). "pi" ist immer die Kreiszahl π; p mal i schreibt man "p*i".
- Unter dem Feld steht, wie die App den Term gelesen hat: "Gelesen: x² + 6x + 9", oder eine
  kurze Meldung wie "Es fehlt eine schließende Klammer )." (zählt nicht als Versuch).
- Richtig ist jeder gleichwertige Term. Verlangt die Aufgabe eine Form, meldet die App einen
  gleichwertigen Term in anderer Form neutral: "nicht-ausmultipliziert",
  "nicht-zusammengefasst", "nicht-faktorisiert" (Hinweise, keine Fehler).

## Startseite

URL: https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/index.html
Checkliste aller Kompetenzen mit Selbsteinschätzung pro Zeile: Sicher / Teils / Noch
üben (Radiobuttons, localStorage, Schlüssel `binom-trainer.selbsteinschaetzung`).
Der Tutor kann das Kind bitten, seine Einschätzung vorzulesen, um zu entscheiden,
wo er anfängt. Für Aufgaben nicht hierhin verlinken.

## Test

URL: https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/test.html
Ein Diagnosetest über alle Kompetenzen in Checklisten-Reihenfolge, ohne Tipp, ohne
Lösung, ohne Zeitmessung. Nur Eingabe und "Weiter"; eine leere Antwort zählt nach
Rückfrage als falsch. "Abbrechen" führt zur Startseite, ohne zu speichern.
- Modi: `modus=voll` (Standard) – zwei Aufgaben je Kompetenz; `modus=schnell` – eine
  Aufgabe je Kompetenz. Die Seite bietet vor dem Start beide als Knopf an; der
  Parameter legt nur den vorgeschlagenen Modus fest.
- Testnummer: `nr=` oder `seed=` (ganze Zahl, `seed` gewinnt; ohne Angabe zufällig
  1–9999). Die Nummer bestimmt die komplette Aufgabenfolge; dieselbe Nummer ergibt
  denselben Test. Der Schnelltest zu einer Nummer besteht aus der jeweils ersten
  Aufgabe des vollen Tests.
- Beispiel: https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/test.html?nr=4711&modus=schnell
- Bewertung je Kompetenz: Test 2/2 → "✓ sicher", 1/2 → "~ teils", 0/2 → "✗ üben";
  Schnelltest 1/1 → ✓, 0/1 → ✗.
- Ergebniszeile (das Kind kopiert sie und schickt sie dir):
  `Test Nr. 4711 (Binomische Formeln, Schnelltest): 1 ✓ 2 ✓ 3 ✗ 4 ✓ 5 ~ 6 ✗`
  Die Ziffern sind die Kompetenznummern der Checkliste. Bei der Nummer kannst du
  denselben Test unter test.html?nr=4711&modus=schnell nachvollziehen – verrate
  dem Kind die Aufgaben aber nicht vorab.
- Das letzte Ergebnis liegt im localStorage (`binom-trainer.test`) und erscheint in
  der Checkliste der Startseite als Spalte "Test" mit der Zeile "Letzter Test:
  Nr. 4711, Schnelltest, 23.09.2026".

## Seiten

### 1 Klammer mal Klammer – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/klammern-multiplizieren.html
Kompetenz: Zwei Klammern multiplizieren und zusammenfassen.
Regel: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd – jedes Glied mal jedes Glied, vier Produkte,
dann gleichartige Glieder zusammenfassen.
Aufgabe: (m1·x ± n1)(m2·x ± n2) ausmultiplizieren; Antwort als Term (Termfeld, Form
"ausmultipliziert"). Bild: Rechteck mit vier Teilflächen, Zeile mal Spalte.
Parameter: `m1`, `m2` (Faktor vor x, 1–5), `n1`, `n2` (Zahl in der Klammer, 1–20),
`op1`, `op2` = `plus|minus` (Rechenzeichen in der ersten bzw. zweiten Klammer; fehlt es,
gilt plus), `seed`. Fehlende Zahlen wählt die App zufällig.
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/klammern-multiplizieren.html?m1=1&n1=3&m2=1&n2=5&seed=1#uebung
((x + 3)(x + 5), Lösung x^2 + 8x + 15)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/klammern-multiplizieren.html?m1=2&n1=1&op1=minus&m2=1&n2=4&seed=2#uebung
((2x − 1)(x + 4), Lösung 2x^2 + 7x − 4)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "nur-aussen-glieder" (nur Erstes mal Erstes und
Letztes mal Letztes: x² + 15), "vorzeichenfehler" (ein Teilprodukt mit falschem
Vorzeichen: 2x² + 9x − 4). Hinweise statt Fehler: "nicht-ausmultipliziert" (Klammern
stehen noch), "nicht-zusammengefasst" (x² + 5x + 3x + 15).
Video (#video): „Ausmultiplizieren | Klammern auflösen -  Termen und Gleichungen - Mathematik | Lehrerschmidt“,
https://www.youtube.com/watch?v=X5E2bqby8f0 – die App bettet es erst nach einem Klick ein.

### 2 (a+b)² – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/erste-binomische.html
Kompetenz: Die erste binomische Formel anwenden.
Regel: (a + b)² = a² + 2ab + b². a und b sind die ganzen Glieder, auch mit Zahl davor:
(3a)² = 9a².
Aufgabe: (m·x + n)², (m·a + n)² oder (m·a + n·b)² ausmultiplizieren; Antwort als Term
(Form "ausmultipliziert"). Bild: Quadrat mit der Seite a + b, zerlegt in a², ab, ab, b².
Parameter (gleiche Grammatik auf den Seiten 2, 3 und 4):
- `m` – Zahl vor der Variablen im ersten Glied (1–5)
- `n` – zweites Glied: die Zahl (1–12) oder die Zahl vor der zweiten Variablen
- `var=x|a` – Variable im ersten Glied (Standard x, wenn m oder n in der URL stehen)
- `glied=zahl|variable` – zweites Glied ist eine Zahl (Standard) oder n mal eine zweite
  Variable (y zu x, b zu a)
- `seed`
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/erste-binomische.html?m=1&n=4&seed=1#uebung
((x + 4)², Lösung x^2 + 8x + 16)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/erste-binomische.html?m=2&n=3&var=a&seed=2#uebung
((2a + 3)², Lösung 4a^2 + 12a + 9)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/erste-binomische.html?m=3&n=2&var=a&glied=variable&seed=3#uebung
((3a + 2b)², Lösung 9a^2 + 12ab + 4b^2)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "binom-vergessen" (a² + b², Mittelglied fehlt),
"faktor-2-vergessen" (a² + ab + b²), "koeffizient-nicht-quadriert" ((3a)² als 3a² oder
4² als 4).
Video (#video): „1.binomische Formel - mit grafischer Erklärung | Lehrerschmidt“,
https://www.youtube.com/watch?v=D_D4gvqNDdE – die App bettet es erst nach einem Klick ein.

### 3 (a−b)² – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/zweite-binomische.html
Kompetenz: Die zweite binomische Formel anwenden.
Regel: (a − b)² = a² − 2ab + b². Das Mittelglied ist negativ, b² ist immer positiv
((−b)·(−b) = +b²).
Aufgabe: (m·x − n)², (m·a − n)² oder (m·a − n·b)² ausmultiplizieren; Antwort als Term
(Form "ausmultipliziert"). Bild: vom Quadrat a² werden zwei Streifen a·b abgezogen, die
doppelt abgezogene Ecke b² kommt zurück.
Parameter: `m`, `n`, `var=x|a`, `glied=zahl|variable`, `seed` – wie auf Seite 2; das Minus
steht immer in der Klammer.
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/zweite-binomische.html?m=1&n=5&seed=1#uebung
((x − 5)², Lösung x^2 − 10x + 25)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/zweite-binomische.html?m=2&n=3&var=a&glied=variable&seed=2#uebung
((2a − 3b)², Lösung 4a^2 − 12ab + 9b^2)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "binom-vergessen" (a² − b² oder a² + b²),
"vorzeichen-b-quadrat" (a² − 2ab − b²), "faktor-2-vergessen" (a² − ab + b²),
"vorzeichen-mittelglied" (a² + 2ab + b², also die erste Formel), "koeffizient-nicht-quadriert".
Video (#video): „2.binomische Formel - ganz einfach erklärt mit Beispielen! | Lehrerschmidt“,
https://www.youtube.com/watch?v=P9Moh6nUSI8 – die App bettet es erst nach einem Klick ein.

### 4 (a+b)(a−b) – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/dritte-binomische.html
Kompetenz: Die dritte binomische Formel anwenden.
Regel: (a + b)(a − b) = a² − b². Die Mittelglieder +ab und −ab heben sich auf.
Aufgabe: (m·x + n)(m·x − n) oder mit n·b ausmultiplizieren; Antwort als Term (Form
"ausmultipliziert"). Bild: Quadrat a² ohne Ecke b², umgelegt zum Rechteck (a + b)(a − b).
Parameter: `m`, `n`, `var=x|a`, `glied=zahl|variable` wie auf Seite 2, dazu
`reihenfolge=plusminus|minusplus` (welche Klammer vorn steht; Standard plusminus, wenn m
oder n in der URL stehen), `seed`.
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/dritte-binomische.html?m=1&n=4&seed=1#uebung
((x + 4)(x − 4), Lösung x^2 − 16)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/dritte-binomische.html?m=3&n=2&var=a&glied=variable&reihenfolge=minusplus&seed=2#uebung
((3a − 2b)(3a + 2b), Lösung 9a^2 − 4b^2)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "mittelglied-geschrieben" (a² ± 2ab − b² oder
eine andere Form mit Mittelglied), "vorzeichen" (a² + b² oder b² − a²),
"koeffizient-nicht-quadriert" ((3a)² als 3a², 4² als 4).
Video (#video): „3.binomische Formel - ganz einfach erklärt mit Beispielen! | Lehrerschmidt“,
https://www.youtube.com/watch?v=6ySWeEhTOt4 – die App bettet es erst nach einem Klick ein.

### 5 Rückwärts – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html
Kompetenz: Eine Summe als binomische Formel erkennen und als Produkt schreiben
(faktorisieren); Lücken so ergänzen, dass eine binomische Formel entsteht.
Regel: a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b).
Zwei Quadrate suchen, a und b ablesen, Mittelglied prüfen (2ab, Vorzeichen).
Typ "faktorisieren": Antwort als Term. Richtig ist nur ein Binom-Produkt: (x+3)^2,
(x+3)(x+3), (x+4)(x-4). Die ausmultiplizierte Summe oder 1*(x^2+6x+9) meldet die App
neutral als Hinweis "nicht-faktorisiert" (zählt nicht als Versuch).
Typ "luecke": eine Zahl eintippen (ausgerechnet, kein Term; "2*5" ergibt den Hinweis
"ausdruck-statt-zahl"). Nur 1. und 2. Formel.
Bild: die Flächenbilder der Seiten 2–4, rückwärts – beim Faktorisieren sind die
Teilflächen gegeben und die Seiten "?", bei Lücken fehlt eine Teilfläche.
Parameter:
- `typ=faktorisieren|luecke` (Standard faktorisieren, wenn formel, m oder n in der URL stehen)
- `formel=1|2|3` – welche binomische Formel (Lücke: nur 1 oder 2; Standard 1)
- `luecke=mitte|ende` – Lücke im Mittelglied (x² + □x + 25) oder im letzten Glied (x² + 8x + □)
- `m`, `n`, `var=x|a`, `glied=zahl|variable` wie auf Seite 2 – das Binom, um das es geht
- `seed`
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html?typ=faktorisieren&formel=1&m=1&n=3&seed=1#uebung
(x² + 6x + 9, Lösung (x+3)^2)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html?typ=faktorisieren&formel=2&m=1&n=5&seed=2#uebung
(x² − 10x + 25, Lösung (x-5)^2)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html?typ=faktorisieren&formel=3&m=1&n=4&seed=3#uebung
(x² − 16, Lösung (x+4)(x-4))
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html?typ=luecke&luecke=mitte&formel=1&m=1&n=5&seed=4#uebung
(x² + □x + 25, Lösung 10)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/binome-rueckwaerts.html?typ=luecke&luecke=ende&formel=1&m=1&n=4&seed=5#uebung
(x² + 8x + □, Lösung 16)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "falsches-vorzeichen" ((x − 3)² statt (x + 3)²),
"nicht-halbiert" ((x + 6)² bei 6x; bei der Lücke 64 statt 16), "falsche-formel"
((x + 3)(x − 3) bei einem Mittelglied, (x − 4)² bei x² − 16), "faktor-2-vergessen" (Lücke
im Mittelglied: 5 statt 10), "nicht-quadriert" (Lücke am Ende: 4 statt 16).
Video: keins; `#video` verweist mit einem Satz auf die Videos der Seiten 2–4 (erste, zweite,
dritte binomische Formel). Für das Rückwärts-Denken helfen genau diese.

### 6 Kopfrechnen – https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/geschickt-rechnen.html
Kompetenz: Quadrate und Produkte nahe an glatten Zehnern mit den binomischen Formeln im
Kopf ausrechnen.
Regel: Zahl in eine glatte Zahl (Zehner oder Hunderter) und kleinen Rest zerlegen: 51² = (50 + 1)² (1. Formel),
49² = (50 − 1)² (2. Formel), 21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 20² − 1² (3. Formel).
Aufgabe: zwei Felder – Auswahl "Welche Formel hilft?" (1., 2. oder 3. Formel) und das
Ergebnis als ganze Zahl (ausgerechnet, ohne Tausenderpunkt: "2401"; ein Term wie "49*49"
ergibt den Hinweis "ausdruck-statt-zahl"). Bild: vor dem Prüfen nur die Fläche "91 · 89 = ?"; die Zerlegung
und das passende Flächenbild erscheinen erst nach "Prüfen" oder "Lösung zeigen".
Parameter:
- `formel=1|2|3` – 1: (basis + abstand)², 2: (basis − abstand)², 3: (basis + abstand) · (basis − abstand)
- `basis` – glatter Zehner (10–200, durch 10 teilbar)
- `abstand` – 1–9, kleiner als basis
- `seed`
Beispiele:
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/geschickt-rechnen.html?formel=2&basis=50&abstand=1&seed=1#uebung
(49², Lösung 2. Formel, 2401)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/geschickt-rechnen.html?formel=3&basis=20&abstand=1&seed=2#uebung
(21 · 19, Lösung 3. Formel, 399)
https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/geschickt-rechnen.html?formel=1&basis=100&abstand=2&seed=3#uebung
(102², Lösung 1. Formel, 10404)
Typische Fehler, die der Checker meldet: "falsche-formel" (falsche Formel gewählt),
"zerlegung-falsch" (Zerlegung richtig, Formel falsch angewendet: 49² = 2500 − 1 = 2499,
Mittelglied halb oder mit falschem Vorzeichen, 21 · 19 = 400 + 1).
Video (#video): „Nur für NERDS: Kopfrechnen mit den binomischen Formeln! | Lehrerschmidt“,
https://www.youtube.com/watch?v=LoTVgi5tYsQ – die App bettet es erst nach einem Klick ein.

<!-- neue-kompetenz: Abschnitte darüber einfügen -->
## Parameter-Übersicht

| Seite          | Parameter                                  | Beispiel                              |
|----------------|--------------------------------------------|---------------------------------------|
| test.html      | nr (oder seed), modus=voll/schnell         | ?nr=4711&modus=schnell                |
| klammern-multiplizieren.html | m1, n1, op1, m2, n2, op2, seed | ?m1=2&n1=1&op1=minus&m2=1&n2=4&seed=2 |
| erste-binomische.html | m, n, var=x/a, glied=zahl/variable, seed | ?m=3&n=2&var=a&glied=variable&seed=3 |
| zweite-binomische.html | m, n, var=x/a, glied=zahl/variable, seed | ?m=1&n=5&seed=1 |
| dritte-binomische.html | m, n, var, glied, reihenfolge=plusminus/minusplus, seed | ?m=1&n=4&seed=1 |
| binome-rueckwaerts.html | typ=faktorisieren/luecke, formel=1/2/3, luecke=mitte/ende, m, n, var, glied, seed | ?typ=luecke&luecke=ende&formel=1&m=1&n=4&seed=5 |
| geschickt-rechnen.html | formel=1/2/3, basis, abstand, seed | ?formel=2&basis=50&abstand=1&seed=1 |

Die Aufgabennummer allein (`seed=` oder `nr=`, ohne weitere Parameter) erzeugt auf jeder
Seite eine reproduzierbare Zufallsaufgabe. "Neue Aufgabe" erzeugt eine neue Aufgabe mit
eigener Aufgabennummer; der Link "Link zu dieser Aufgabe" unter jeder Aufgabe enthält
die Parameter zum Nachvollziehen.

## Tutor-Prompt

https://lernapps.github.io/mathe-karte/binom/tutor.md