Geschickt rechnen

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Warum?

Die binomischen Formeln sind nicht nur für Buchstaben da. Mit ihnen rechnest du Aufgaben wie $49^{2}$ oder $21 \cdot 19$ im Kopf aus – schneller als mit dem schriftlichen Verfahren. Das hilft beim Kopfrechnen, beim Überschlagen und in der Klassenarbeit ohne Taschenrechner. Und es zeigt dir, dass die Formeln wirklich für jede Zahl gelten: Buchstaben sind nur Platzhalter.

Regel

49^{2} = {(50 - 1)}^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401

Zerlege die Zahl in eine glatte Zahl (Zehner oder Hunderter) und einen kleinen Rest. Liegt sie knapp darüber, nimmst du die 1. Formel ${(a + b)}^{2}$ , knapp darunter die 2. Formel ${(a - b)}^{2}$ . Zwei Zahlen, die gleich weit links und rechts von einem Zehner liegen, rechnest du mit der 3. Formel: $21 \cdot 19 = (20 + 1) (20 - 1)$ $= 20^{2} - 1^{2}$ .

Mit der glatten Zahl kannst du leicht rechnen: $50^{2} = 2500$ , $2 \cdot 50 \cdot 1 = 100$ , $1^{2} = 1$ .

Merke

Das Mittelglied nicht vergessen! $49^{2}$ ist nicht $2500 - 1 = 2499$ .

Beispiel

Rechne im Kopf: 102² und 21 · 19

Die Rechenwege für 102² und 21 · 19
Zerlegen	$102 = 100 + 2$ → 1. Formel
Formel	$100^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^{2}$ $= 10000 + 400 + 4$
Ergebnis	$102^{2} = 10404$
Zerlegen	$21 \cdot 19 = (20 + 1) (20 - 1)$ → 3. Formel
Formel	$20^{2} - 1^{2} = 400 - 1$
Ergebnis	$21 \cdot 19 = 399$

Bild

49² = 2401. 50² − zwei Streifen + Ecke zurück — $49^{2}$ als Fläche: Ein Quadrat mit der Seite $50$ , also $50^{2} = 2500$ . Rechts und unten ist je ein Streifen $50 \cdot 1 = 50$ markiert (rot): Beide werden abgezogen. Die grüne Ecke $1^{2} = 1$ steckt in beiden Streifen, ist also doppelt abgezogen und kommt einmal zurück. Übrig bleibt das Quadrat $49^{2}$ : $2500 - 100 + 1 = 2401$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Nur für NERDS: Kopfrechnen mit den binomischen Formeln! Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Zum Nachlesen: Exkurs: Kopfrechnen mit binomischen Formeln bei Serlo.

Übung

Lösung

49 = 50 - 1, also 50² - 2 · 50 · 1 + 1² richtige Antwort
Das ist die 2. Formel: 2500 - 100 + 1 = 2401.
49 = 50 - 1, also 50² - 1²
Hier fehlt das Mittelglied -2 · 50 · 1 = -100. 2500 - 1 = 2499 ist zu groß.
49 = 50 - 1, also 50² + 2 · 50 · 1 + 1²
Das ist 51² = (50 + 1)². Bei (50 - 1)² ist das Mittelglied negativ.
49 = 40 + 9, also 40² + 9²
Hier fehlt das Mittelglied 2 · 40 · 9. Außerdem rechnet es sich mit 50 - 1 viel leichter.

49 = 50 - 1, also 49² = (50 - 1)² = 50² - 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 - 100 + 1 = 2401.

Mehr dazu:

Kopfrechnen mit binomischen Formeln (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Rechne geschickt im Kopf: $51^{2}$ . Welche binomische Formel hilft (1. Formel ${(a + b)}^{2}$ , 2. Formel ${(a - b)}^{2}$ oder 3. Formel $(a + b) (a - b)$ ), und was kommt heraus?

Lösung

Es hilft die 1. Formel: $51^{2} = {(50 + 1)}^{2} = 2601$

$51 = 50 + 1$ , also $51^{2} = {(50 + 1)}^{2}$ → 1. Formel
$= 50^{2} + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^{2} = 2500 + 100 + 1$
$= 2601$