Dritte binomische Formel

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Warum?

Die dritte Formel ist die kürzeste: Aus $(x + 4) (x - 4)$ wird sofort $x^{2} - 16$ , ganz ohne Mittelglied. Du brauchst sie ständig, um Terme zu vereinfachen und später, um Differenzen wie $x^{2} - 16$ wieder in Klammern zu zerlegen. Und sie ist ein starker Kopfrechentrick: $21 \cdot 19 = 20^{2} - 1^{2} = 399$ .

Regel

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Zwei Klammern mit denselben Gliedern, einmal mit Plus, einmal mit Minus. Beim Ausmultiplizieren entstehen $+ a b$ und $- a b$ . Sie heben sich auf, deshalb gibt es kein Mittelglied. Übrig bleiben $a^{2}$ und $- b^{2}$ .

Die Reihenfolge der Klammern ist egal: $(a - b) (a + b)$ ergibt genauso $a^{2} - b^{2}$ .

Merke

Kein Mittelglied – und das Minus bleibt: $a^{2} - b^{2}$ , nicht $a^{2} + b^{2}$ .

Beispiel

Multipliziere aus: (x + 4)(x − 4)

Der Rechenweg für (x + 4)(x − 4)
Glieder	$a = x$ , $b = 4$
Vier Produkte	$x^{2} - 4 x + 4 x - 16$ – die Mittelglieder heben sich auf
Formel	$x^{2} - 4^{2}$
Ausgerechnet	$x^{2} - 16$

Mit Zahlen davor: $(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)$ $= 9 a^{2} - 4 b^{2}$ .

Bild

(x + 4)(x − 4) = x² − 16. Gleiche Teile, gleiche Fläche — Oben: das Quadrat $x^{2}$ , aus dem rechts unten die Ecke $4^{2} = 16$ fehlt (gestrichelt). Der Rest besteht aus zwei Teilen: einem blauen Rechteck $x$ mal $x - 4$ und einem gelben Rechteck $x - 4$ mal $4$ . Unten: Das gelbe Teil ist gedreht und rechts angelegt – jetzt ist es ein Rechteck mit den Seiten $x + 4$ und $x - 4$ . Gleiche Teile, gleiche Fläche: $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

3.binomische Formel – ganz einfach erklärt mit Beispielen! Lehrerschmidt · YouTube

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Zum Nachlesen: Binomische Formeln bei Serlo.

Übung

Lösung

Es gibt kein Mittelglied: +7a und -7a heben sich auf. richtige Antwort
Richtig ist (a + 7)(a - 7) = a² - 7a + 7a - 49 = a² - 49.
Das letzte Glied muss +49 heißen.
Das letzte Produkt ist (+7) · (-7) = -49. Das Minus bleibt.
Das letzte Glied muss -14 heißen.
Das letzte Glied ist 7² = 7 · 7 = 49, nicht 2 · 7.

Nach der dritten binomischen Formel ist (a + 7)(a - 7) = a² - 7² = a² - 49.

Mehr dazu:

Binomische Formeln (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Multipliziere mit der dritten binomischen Formel aus: $(x + 6) (x - 6)$ . Gib das Ergebnis als Term ein.

Lösung

$(x + 6) (x - 6) = x^{2} - 36$

Glieder: $a = x, b = 6$
Vier Produkte: $(x + 6) (x - 6) = x^{2} - 6 x + 6 x - 36$ – die Mittelglieder heben sich auf.
Formel: $= x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36$