Binome rückwärts

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Warum?

Bisher hast du Klammern aufgelöst. Oft brauchst du den umgekehrten Weg: Aus $x^{2} + 6 x + 9$ wird wieder ${(x + 3)}^{2}$ . Das nennt man faktorisieren. Ein Produkt verrät mehr als eine Summe – zum Beispiel, wann ein Term null wird oder wie sich ein Bruch kürzen lässt. Später beim Lösen quadratischer Gleichungen („quadratische Ergänzung“) ist genau dieser Blick der entscheidende Schritt.

Regel

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Faktorisieren: Eine Summe als Produkt schreiben, zum Beispiel $x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$ .

So erkennst du die Formel: Such zwei Quadrate (erstes und letztes Glied). Daraus liest du $a$ und $b$ ab. Steht dazwischen ein Mittelglied, prüfst du, ob es $2 \cdot a \cdot b$ ist – sein Vorzeichen entscheidet zwischen ${(a + b)}^{2}$ und ${(a - b)}^{2}$ . Gibt es kein Mittelglied und steht ein Minus zwischen den Quadraten, ist es die dritte Formel.

Bei Lückenaufgaben rechnest du genauso: Das Mittelglied ist $2 \cdot a \cdot b$ , das letzte Glied ist $b^{2}$ .

Merke

Das Mittelglied halbieren! Bei $x^{2} + 6 x + 9$ ist $b = 3$ (denn $2 \cdot 3 = 6$ ), nicht $6$ .

Beispiel

Schreib als Produkt: x² + 6x + 9

Der Rechenweg für x² + 6x + 9
Quadrate	$x^{2} = x^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , also $a = x$ , $b = 3$
Mittelglied	$2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ ✓, Vorzeichen $+$ → 1. Formel
Ergebnis	$x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$

Genauso: $x^{2} - 10 x + 25 = {(x - 5)}^{2}$ und $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ . Lücken: Bei $x^{2} + □ x + 25$ gehört $10$ in die Lücke, denn $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ . Bei $x^{2} + 8 x + □$ gehört $16$ hinein, denn $b = 8 : 2 = 4$ und $4^{2} = 16$ .

Bild

x² + 6x + 9 = (x + 3)². Teilflächen gegeben – welche Seite hat das Quadrat? — Das Flächenbild der ersten Formel, rückwärts gelesen: Ein Quadrat aus den Teilflächen $x^{2}$ (blau), zweimal $3 x$ (gelb) und $9$ (grün). Die Teilflächen sind gegeben, gesucht ist die Seite des Quadrats. Sie ist $x + 3$ , also $x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

Die Formeln, die du hier rückwärts anwendest, erklären die Videos zur ersten, zweiten und dritten binomischen Formel. Zum Nachlesen: Faktorisieren bei Serlo.

Übung

Lösung

die 2. Formel: (x - 5)² richtige Antwort
x² und 25 = 5² sind die Quadrate, das Mittelglied -10x = -2 · x · 5 ist negativ.
die 1. Formel: (x + 5)²
Das Mittelglied ist negativ. (x + 5)² ergibt x² + 10x + 25.
die 3. Formel: (x + 5)(x - 5)
Das ergibt x² - 25, ohne Mittelglied. Hier steht aber ein Mittelglied -10x.
die 2. Formel: (x - 10)²
Das Mittelglied ist 2 · a · b: Halbiere 10, dann ist b = 5, nicht 10.

x² und 25 = 5² sind Quadrate, -10x = -2 · x · 5: Das ist die zweite Formel, x² - 10x + 25 = (x - 5)².

Mehr dazu:

Faktorisieren (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Schreib als Produkt mit einer binomischen Formel: $a^{2} - 4 a + 4$ . Gib das Ergebnis als Term ein.

Lösung

$a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$

Quadrate: $a^{2} = a^{2}$ und $4 = 2^{2}$ , also $a = a, b = 2$
Probe Mittelglied: $2 \cdot a \cdot 2 = 4 a$ ✓, Vorzeichen − → 2. Formel
Ergebnis: $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$