Zweite binomische Formel

Mit einem KI-Tutor lernen

Ein KI-Tutor erklärt dir diese Seite und hilft dir bei den Übungen. Wähl deinen Assistenten:

Mit Claude öffnen Mit ChatGPT öffnen Mit Mistral Vibe öffnen

Du nutzt dein eigenes Konto beim Anbieter. Der Assistent ist kein Angebot von lernapps.net: lernapps liefert nur Inhalte und Übungen. Die Wahl gilt für alle Seiten, nur auf diesem Gerät.

Ansehen, was dein Tutor zu dieser Seite bekommt

Warum?

Die zweite Formel ist die Schwester der ersten – nur mit Minus in der Klammer. Genau dieses Minus macht sie tückisch: Beim Ausmultiplizieren von ${(x - 5)}^{2}$ passieren die meisten Vorzeichenfehler. Wer die Formel kennt, schreibt das Ergebnis in einer Zeile hin. Und wer weiß, warum am Ende $+ b^{2}$ steht, verwechselt die Vorzeichen nicht mehr.

Regel

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

$a$ ist das erste Glied, $b$ das zweite (ohne das Minus). Du quadrierst beide Glieder, das Mittelglied $- 2 a b$ ist negativ, das letzte Glied $+ b^{2}$ ist positiv.

Warum plus? ${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b)$ . Das letzte Produkt ist $(- b) \cdot (- b) = + b^{2}$ : Minus mal Minus gibt Plus. Im Bild ziehst du von $a^{2}$ zwei Streifen $a \cdot b$ ab; die Ecke $b^{2}$ steckt in beiden Streifen, ist also doppelt weg und kommt einmal zurück.

Merke

${(a - b)}^{2}$ ist nicht $a^{2} - b^{2}$ . Das Mittelglied $- 2 a b$ fehlt sonst, und das $b^{2}$ ist immer plus.

Beispiel

Multipliziere aus: (x − 5)²

Der Rechenweg für (x − 5)²
Glieder	$a = x$ , $b = 5$
Formel	$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}$
Ausgerechnet	$x^{2} - 10 x + 25$

Mit Zahlen davor: ${(2 a - 3 b)}^{2}$ $= 4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}$ .

Bild

(x − 5)² = x² − 10x + 25. x² − zwei Streifen + Ecke zurück — Ein Quadrat mit der Seite $x$ . Rechts und unten ist je ein Streifen der Breite $5$ markiert (rot): Beide Streifen $5 x$ werden abgezogen. Die grüne Ecke $25$ rechts unten steckt in beiden Streifen, ist also doppelt abgezogen und kommt einmal zurück ( $+ 25$ ). Übrig bleibt links oben das blaue Quadrat ${(x - 5)}^{2}$ , also ${(x - 5)}^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ .
Quelle: Eigene Darstellung der Mathe-Karte. Lizenz: MIT.

Video dazu

2.binomische Formel – ganz einfach erklärt mit Beispielen! Lehrerschmidt · YouTube

Beim Abspielen gehen Daten an YouTube/Google, darunter deine IP-Adresse.

Zum Nachlesen: Binomische Formeln bei Serlo.

Übung

Lösung

Das letzte Glied ist +16, denn (-4) · (-4) = +16. richtige Antwort
Minus mal Minus gibt Plus. Richtig ist (x - 4)² = x² - 8x + 16.
Das Mittelglied muss +8x heißen.
Bei (a - b)² ist das Mittelglied negativ: -2 · x · 4 = -8x. Das stimmt schon.
Das Mittelglied muss -4x heißen.
Das Mittelglied kommt zweimal vor: x · (-4) und (-4) · x, zusammen -8x.

Nach der zweiten binomischen Formel ist (x - 4)² = x² - 2 · x · 4 + 4² = x² - 8x + 16.

Mehr dazu:

Binomische Formeln (Serlo)

Aufgabe Nr. 1

Multipliziere mit der zweiten binomischen Formel aus: ${(x - 6)}^{2}$ . Gib das Ergebnis als Term ein.

Lösung

${(x - 6)}^{2} = x^{2} - 12 x + 36$

Glieder: $a = x, b = 6$
Formel: ${(x - 6)}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}$
Ausgerechnet: $= x^{2} - 12 x + 36$